Trigonometria

Introdução A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente, cotangente, entre várias outras, dependendo dos lados considerados na proporção. Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior. Desenvolvimento Trigonometria é a área da matemática que estuda as relações envolvendo os lados de um triângulo retângulo, que um polígono que possui três ângulos. A origem do nome vem do grego que se refere a medidas de três ângulos. A partir dos lados do triângulo é que encontramos as razões seno, cosseno e tangente. Na Geometria também existem outras abordagens que utilizam a trigonometria, como nos estudos das esferas. Trigonometria no triângulo retângulo No triângulo retângulo, os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) possuem valores que são constantes sendo representados pelas relações seno, cosseno e tangente. Funções trigonométricas As funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, são as relações no triângulo retângulo (triângulo com um angulo que mede 90°) das razões entre os lados em função do ângulo. Podemos encontrar essas funções através dos catetos, oposto e adjacente e da hipotenusa. Cateto oposto O cateto oposto é o que fica no lado oposto ao ângulo referência (θ). Cateto adjacente O cateto adjacente é o que está ao lado (adjacente) do ângulo de referência (θ). Hipotenusa A hipotenusa é o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo reto. Seno (sen) O seno é dado pela razão do cateto oposto sobre a hipotenusa. Cosseno (cos) O cosseno é dado pela razão entre o cateto adjacente sobre a hipotenusa. Tangente (tan ou tg) A tangente é a razão dada pelo cateto oposto sobre a cateto adjacente. A partir das funções trigonométricas acima, podemos encontrar outras funções trigonométricas: cotangente, cossecante e secante. Cotangente (cot) A cotangente é o inverso da tangente, dado pelo cateto adjacente sobre o cateto oposto, que é o mesmo que o cosseno sobre o seno. Cossecante (csc) A cossecante é o inverso do seno, ou seja, a hipotenusa sobre o cateto oposto. Secante (sec) A secante é a razão dada pela hipotenusa sobre o cateto adjacente. Círculo trigonométrico O círculo trigonométrico ou ciclo trigonométrico é a disposição no plano cartesiano para facilitar a visualização das funções trigonométricas durante o estudo da trigonometria. Dessa forma, é possível visualizar graficamente durante o estudo dessas funções e poderá entender a disposição do seno, cosseno, tangente, cotangente, cossecante e secante. Veja abaixo: Teorema de Pitágoras O Teorema de Pitágoras define que a relação em um triângulo ABC, com ângulo reto em C, vale a seguinte relação: (AB)² = (AC)² + (BC)². Em outras palavras, Pitágoras descobriu que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Considere o triângulo retângulo: Vamos chamar os lados AB de a, BC de b e AC de c, então: a² = b² + c² Onde a é a hipotenusa; b é cateto oposto; c o cateto adjacente. Geometria Euclidiana Euclides definiu alguns conceitos que são usados no estudo da trigonometria aplicada no triângulo. Lei dos Senos A Lei dos Senos serve para relacionar o seno do ângulo de um triângulo qualquer com o lado oposto a este ângulo. Exemplo: Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c: A lei dos senos é dada pela seguinte fórmula: A fórmula diz que a razão entre um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto a este lado, é igual a 2 vezes o tamanho do raio da circunferência. Lei dos Cossenos A Lei dos Cossenos diz que podemos encontrar a medida de um lado de um triângulo, somando as medidas dos lados opostos a ele e subtraindo pelo dobro do produto entre os opostos e o cosseno do ângulo, também dos lados contrários ao lado em questão. Exemplo: Considere o triângulo ABC abaixo, com lados a, b e c: A lei dos cossenos é dada pela seguinte fórmula: A fórmula diz que podemos encontrar a medida elevada ao quadrado de um lado do triângulo, realizando a soma dos lados opostos também ao quadrado. Após isso, subtraímos desta soma dos lados opostos ao quadrado, o produto entre as medidas dos lados opostos e o cosseno do ângulo oposto ao lado que queremos encontrar multiplicado por 2. Lei das Tangentes A Lei das Tangentes diz ser equivalente os comprimentos de um triângulo não isósceles com a tangente dos ângulos opostos a esses lados. Exemplo: Considere o triângulo ABC abaixo, inscrito na circunferência, com lados a, b e c: A lei dos tangentes é dada pela seguinte fórmula: Conclusão Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica. A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. Foram os babilónios os primeiros a usá-la Referências Bibliográficas «Trigonometria». Brasil Escola. Consultado em 23 de fevereiro de 2012 Afinal, foram os babilónios (e não gregos) os primeiros a estudar trigonometria, por Lusa, ZAP.aeiou, 25 Agosto, 2017 Marques, Paulo. «Trigonometria, Funções». algosobre. Consultado em 24 de fevereiro de 2012 Ribeiro, Thyago. «Lei dos Senos e dos Cossenos». Infoescola. Consultado em 25 de fevereiro de 2012 Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press. Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". Wolfram MathWorld. Christopher Mark Linton (2006) "The Trigonometric... and His Live. IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, trigonometria. 8 ed. São Paulo: Atual, 2004.